신비의 수 ‘142857의 비밀’ 을 알아보자
142857의 비밀이 갑자기 폭발적인 관심을 끌게된 사연은 무엇일까요? 이 숫자는 신비의 수라는 타이틀로 이전에도 많은 관심을 받았던 역사(?)가 있습니다. 142857의 비밀을 먼저 간단하게 요약하면 다른 수를 곱하더라도 숫자 배열만이 바뀌고 곱한 결과를 3자리씩 나누어서 더하면 항상 값이 같아지는 특이한 성질이 있습니다.
오늘만큼은 수학연구가가 되고 싶은 찐빵이와 함께 ‘142857의 비밀’을 풀어볼까요?
Chapter1. 누리꾼의 관심이 높아진 이유는?
지금으로부터 2년전인 2011년 6월에 누리꾼들 사이에서는 142857이라는 숫자가 신비의 수, 신이 만든 수라는 타이틀로 화제가 되었었습니다. 해당 숫자에 2, 3, 4, 5, 6을 곱하면 원래 있던 6개의 숫자의 자리만 바뀔 뿐 모두 존재하며 계산된 결과를 3자리로 끊어 더하면 모두 999라는 값이 됩니다.
위의 그림과 같이 실제로 숫자에 1 ~ 6까지 숫자를 곱한 후 3자리로 끊어서 더해보면, 곱했을 때 값은 자리의 변화만 있을 뿐이지만 7을 곱하면 999999이 됩니다. 곱한 값을 3자리로 끊어 더한면 모두 999라는 공통적인 값을 가지게 됩니다. 여기서 흥미로운 점은 1과 6을 곱하여 3자리로 끊어 더한 값을 비교해보면 앞뒤의 3자리수가 대칭임을 알 수 있습니다. 이와 같은 방식으로 2와 5, 3과 4도 역시 대칭이 됩니다.
142857의 비밀에는 또 하나의 재미있는 사실이 있습니다. 해당 숫자에 두자릿수나 세자릿수 중 아무 숫자나 곱한 후 뒤쪽에서부터 3자리씩 끊어서 더해보면 모두 999라는 값이 나오게 됩니다. 하지만 모두 999가 되는 것이 아니며 예외적으로 1998이 되는 경우가 있는데 왜 이러한 차이가 나는 것일까요? 아래 그림을 보고 설명을 계속 드리겠습니다.
위의 그림을 보면 77과 966을 곱한 값을 보면 9가 많다는 것을 알 수 있습니다. 위에서 142857에 7을 곱하면 999999가 되었던 것을 기억하시나요? 77과 966 모두 7의 배수입니다. 7의 배수를 곱하면 999의 2배인 1998이 되지만 이값 또한 999의 배수이며 네 자릿수나 자릿수가 다섯이상인 수를 곱하여도 동일하게 999나 999의 배수가 나오게 됩니다. 또 한가지 흥미로운 사실은 142857을 2자리씩 끊어 더하면 14+28+57=99가 되며 142857^2=20408122449라는 값이 나오는데 이 숫자를 둘로 나누어 더하면 원래의 수가 나오게 됩니다.
Chapter2. 순환소수가 ‘142857의 비밀’ 이다.
이 숫자가 분명 신기한 숫자임은 틀림없습니다. 하지만 어떻게 이러한 숫자가 나왔는지 알게 된다면 단순하게 느껴졌던 것에 변화가 생길것같습니다. 또한 이러한 패턴을 가진 수가 많지 않습니다. 신기한 느낌이 줄어들기는 하지만 각자 자신만의 신비의 수를 찾을 수 있다는 것을 안다면 새로운 신비함에 빠져들 가능성이 높습니다. 142857의 비밀은 분수인 순환소수에서 찾을 수 있습니다.
그림과 같이 분수를 소수로 계산하면 소수점 아래자리 수가 끝나지 않고 계속해서 진행되는 경우가 생깁니다. 이처럼 소수 중에서 소수점 아랫자리의 수가 끝이 있는 것을 유한소수, 계속되는 것을 무한소수라고 합니다. 1/3은 3이 반복되고, 1/6은 6이 반복되는데 분수를 소수로 나타난 무한소수에는 일정한 묶음의 수가 계속 반복되는 공통점이 있습니다. 이와 같이 반복되는 묶음을 순환마디라고 말하며 순환마디가 반복되는 소수를 순환소수라고 말하는 것입니다.
위의 그림을 보시면 142857은 1/7의 순환마디임을 알 수 있습니다. 이 숫자에 2를 곱할 때 나오는 수는 7/2의 소수점 이하 첫 6자리이며 3을 곱할 때 나온수는 3/7의 소수점 이하 첫 6자리로 구성된 수이며 이는 모두 배열순서만 다르며 142857이 계속해서 반복됩니다. 더 자세한 내용은 142857의 비밀을 참고하세요.
142857의 비밀에 대한 궁금증이 해결되셨나요? 전문적인 내용이 있어서 이해하시기 어려울 수도 있을것같습니다. 이 숫자가 처음 화제가 된 것은 베르나르베르베르의 소설 ‘신’에서 소개되면서 부터였는데 소설의 주인공 미카엘 팽송이 사는 빌라 주소가 142857호이고 이 숫자에 다양한 성질이 나옵니다. 찐빵이가 최대한 쉽게 142857의 비밀을 설명해드렸는데 부족한 부분이 있으시면 덧글을 남겨주세요^^
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